En las Correlaciones se mostró la existencia de una relación LINEAL entre dos variables continuas. Es decir, Interdependencia, covariación.
Similarmente, ANOVA también busca una relación LINEAL, pero entre una variable dependiente y una o varias variables independientes.
Se conoce como el análisis de la varianza (ANOVA por sus siglas en inglés, ANalysis Of VAriance)
En general es un test paramétrico que se utiliza para contestar preguntas similares al t-test, pero esta vez cuando existe más de dos categorías en comparación.
Por Ejemplo:
¿Existen diferencias del IMC entre estrato socioeconómico (alto, medio, bajo)?
¿Existen diferencias del Índice Craneano entre los períodos Paleoindio, Arcaico, Formativo y Reciente
En general el planteamiento se basa en determinar la probabilidad que tres, cuatro, cinco… etc, muestras, grupos o categorías, pertenezcan a una población con la misma media.
De esta forma, la hipótesis nula se puede expresar como:
Ho: \(m_{1}=m_{2}=m_{3}=...m_{n}\)
Para averiguar si existen diferencias entre medias se recurre a comparar las varianzas al interior de los grupos-muestras y la variancia entre los grupos-muestras(total).
El razonamiento es que si las medias son iguales, la varianza total (la de todos los grupos juntos) disminuye, pero si son muy diferentes, aumenta.
El ANOVA lo que hace es comparar la proporción entre la variancia inter-grupos y la variancia intra-grupos
Como lo que interesa es reconocer la diferencia o similitud entre los grupos (sus medias), el ANOVA examina qué tanto es la variancia inter-grupos en relación a la intra-grupos
Lo anterior permite así determinar en qué medida la variancia total es resultado del alejamiento de las medias entre los grupos y no de la variancia interna de cada grupo
El ANOVA entrega un coeficiente conocido como F , el cual expresa el cociente entre la variancia inter-grupos y la variancia intra-grupos
F = entre grupos/dentro de cada grupo
Distribución F: representa la razón de dos varianzas
Generalmente el resumen de un ANOVA, se presenta como el siguiente cuadro:
ANOVA de 1 vía (oneway ANOVA)
Significa que tenemos solo una variable independiente
Como el p-value es menor a 0.05, concluimos que el Estrato afecta la variabilidad del peso. Por tanto existen diferencias significativas del peso promedio entre los 3 estratos
Pruebas post hoc
Una vez que se ha determinado que existen diferencias entre las medias, las pruebas post hoc permiten determinar qué medias difieren.
Lo anterior permite interpretar los resultados del test ANOVA en función de las diferencias entre grupos específicos.
El término “post hoc” proviene del latín para “después del evento”. Hay muchas pruebas post hoc diferentes que se han desarrollado, y la mayoría de ellas nos darán respuestas similares
Los principales test post-hoc son:
Prueba Bonferroni
Una prueba de Bonferroni es quizás el análisis post hoc más simple. Una prueba de Bonferroni es una serie t de pruebas realizadas en cada par de grupos.
Esta prueba divide el nivel de significación α por el número de comparaciones que se está realizando para evitar que se incremente las tasas de error de Tipo I, ya que al hacer muchas combinaciones se incrementa el nivel de significación por la totalidad de la data.
En nuestro ejemplo:
| Alto | Bajo | |
| Bajo | 0.029 | |
| Medio | 1.000 | 0.067 |
La diferencia significativa honesta de Tukey
La diferencia significativa honesta (HSD) de Tukey es un análisis post hoc muy popular. Este análisis, al igual que el de Bonferroni, realiza ajustes basados en el número de comparaciones, pero hace ajustes al estadístico de prueba al ejecutar las comparaciones de dos grupos.
En nuestro ejemplo:
| diff | lwr | upr | p adj | |
| Bajo-Alto | -13.230769 | -25.0441653 | -1.417373 | 0.0252811 |
| Medio-Alto | -1.692308 | -13.5057038 | 10.121088 | 0.9347725 |
| Medio-Bajo | 11.538462 | -0.2749345 | 23.351858 | 0.0567362 |
El ANOVA es un atécnica paramétrica ya al igual que el t-test, es importante que cumpla ciertos requisitos para llevarse a cabo:
Verificación de supuestos
Para testear la normalidad realizamos un test de Shapiro-Wilk o el de Kolmogorov Smirnov, para los grupos seleccionados.
Para testear la homoscedasticidad, aplicamos la prueba de Levene
Significa que tenemos dos variables independientes.
Es decir, permite estudiar simultáneamente los efectos de dos fuentes (factores) de variación en una variable dependiente.
Siguiendo con nuestro ejemplo, supongamos que tenemos tambien la variable Sexo (biológico)
Por tanto queremos saber si el sexo y el estrato socioeconómico afectan la variación del Peso.
En este caso, solo el Estrato está afectando estadisticamente la variabilidad del Peso. Por tanto, se mantienen las diferencias del peso por Estrato.
Su objetivo principal es analizar las diferencias entre grupos en una variable dependiente mientras se controla el efecto de una o más variables independientes llamadas covariantes o variables confusoras.
Es utilizado cuando se sospecha que una o varias variables adicionales (covariantes) pueden estar influyendo en la variable dependiente, y se desea controlar su efecto para examinar con mayor precisión las diferencias entre los grupos de interés. En lugar de simplemente comparar las medias de los grupos, el ANCOVA ajusta los efectos de las covariantes para evaluar las diferencias que pueden atribuirse exclusivamente al factor o tratamiento de interés.
Las covariantes son variables adicionales que se incluyen en el modelo para eliminar o reducir la varianza no deseada causada por factores externos o variables de confusión. Estas variables pueden ser factores extrínsecos que afectan la variable dependiente pero no son de interés en sí mismos.
Siguiendo con nuestro ejemplo, ahora vamos a usar la variable sexo como cofactor para controlar el efecto del Estrato en las diferencias observadas en la variable Peso.
La interacción entre Estrato y Sexo no afecta la variabilidad del Peso, es decir, el modelo Estrato:sex no afecta los valores del peso.
El Análisis multivariante de varianza (MANOVA)
Es una técnica estadística avanzada que extiende el análisis de varianza (ANOVA) para el caso en el que se tienen múltiples variables dependientes. Su objetivo principal es examinar si hay diferencias significativas entre grupos en varias variables dependientes simultáneamente.
Cuando la población desde la cual provienen los datos no tiene distribución normal, la media y la desviación estándar ya no son confiables para comparar las muestras entre sí
Los métodos paramétricos como el t-test y el ANOVA se basan, precisamente, en la comparación de grupos a partir de las desviaciones estándar y las medias
Por eso, en los casos en que no es posible usar dichos parámetros, es necesario recurrir a los llamados métodos no paramétricos para la comparación de grupos
Las pruebas no paramétricas se caracterizan por la ausencia de supuestos acerca de la distribución de la población de la cual ha sido extraída la muestra.
Por esta razón, es común referirse a ellas como “pruebas de distribución libre”
Las variables continuas usadas en antropología como dimensiones o magnitudes, pueden tener distribuciones asimétricas debido al proceso o error muestral.
También a veces las muestras seleccionadas son demasiado pequeñas, lo que hace difícil que adquieran una distribución normal
Los métodos no-paramétricos se justifican cuando:
Aquellas pruebas no paramétricas que son equivalentes al análisis de varianza y prueba de t, se basan en los rankings o posición de las observaciones, en lugar de las observaciones propiamente tales
Estos métodos utilizan información acerca de los tamaños relativos de las observaciones, sin asumir nada acerca de la naturaleza específica de las distribuciones
En definitiva, trabajan los datos como si fuesen categorías ordinales, aun siendo numéricas, dada la imposibilidad de asumir su cualidad paramétrica
Pruebas no paramétricas para comparación de grupos
Son numerosas las pruebas no paramétricas para comparar grupos en estadística, incluyendo :
El chi-cuadrado también es considerado como una prueba no paramétrica, pero está exclusivamente diseñadas para variables categóricas
Prueba U de Mann-Whitney
También llamada de Mann-Whitney-Wilcoxon, prueba de suma de rangos Wilcoxon, o prueba de Wilcoxon-Mann-Whitney
Permite comparar la diferencia entre 2 muestras independientes. Esta prueba es una alternativa a la “t” de student para muestras independientes. Esta prueba permite saber si hay o no diferencias entre las muestras, o también si provienen o no de la misma población.
El procedimiento parte combinando los conjuntos de las n1 y n2 observaciones.
Cuando todas las observaciones están juntas se asigna un rango a cada una de las observaciones ordenadas, que comienza en 1 y termina en n1+n2
Posteriormente se suman en forma separada para cada categoría los rankings asignados desde el conjunto total
Viene dado con el siguiente estadístico:
Ejemplo de la Prueba U de Mann-Whitney
Se evaluó la presión arterial sistólica en un grupo de pacientes por sexo.
Los valores se ordenan y se les asigna un rango. Si hay empate ( valores iguales), se obtiene el promedio.
Wilcoxon rank sum test
Prueba Kruskal-Wallis
El contraste de Kruskal-Wallis o llamada también Prueba “H”, es una generalización de la Prueba U, pero para “k” muestras independientes.Es decir, es el equivalente no paramétrico de una prueba anova de una vía
Tal como el test de Wilcoxon, opera a partir de la comparación de la suma de los rankings de las muestras
En esencia, compara los rankings promedios observados para las k muestras, con los esperados asumiendo Ho.
El estadístico utiliza la distribución chi-cuadrado para examinar el nivel alpha
Entonces H tiene una distribución Ji-Cuadrado con K-1 grados de libertad
Donde la Ho: las k muestras provienen de la misma población.
Ejemplo Prueba Kruskal-Wallis
Los siguientes datos corresponden a las edades obtenidas en tres grupos diferentes.
Por tanto: Ho: A = B= C
Hi: A ≠ B ≠ C
Como la \(\chi_{95\%}^2(2g.l) = 5.99\)
Se acepta la Ho a un nivel del 95%
Seguiremos usando la base base_enca2014_200.xlsx de de tamaño 200 de la Encuesta nacional de Consumo Alimentario del 2014.
Llamamos la librería readxl y cargamos nuestro excel
library(readxl)
datos <- read_excel("data/base_enca2014_200.xlsx") #Cargamos la base
Agregamos las etiquetas a los códigos de las variables categóricas
datos$nse <- factor(datos$nse, labels = c("Alto", "Medio_alto", "Medio", "Medio_Bajo", "Bajo"))
datos$sex <- factor(datos$sex, labels = c("Hombre","Mujer"))
datos$macrozona <- factor(datos$macrozona, labels = c("Norte","Centro Norte","Centro Sur","Sur","RM"))
datos$area <- factor(datos$area, labels = c("Urbano","Rural"))
Vamos a realizar un ANOVA de 1 vía (oneway ANOVA) y seleccionamos la variable Peso en Kilogramos (wgt) como dependiente y macrozona como independiente
Primero procedemos a verificar si esta variable si se ajusta a la normalidad por cada grupo.
Como ya sabemos en practicas anteriores que esta variable no se ajusta a la normal, procedemos a realizar las transformaciones y probar el ajuste.
shapiro.test(log(datos[datos$nse=="Alto", c("wgt")]$wgt))
Shapiro-Wilk normality test
data: log(datos[datos$nse == "Alto", c("wgt")]$wgt)
W = 0.91754, p-value = 0.1342
shapiro.test(log(datos[datos$nse=="Medio_alto", c("wgt")]$wgt))
Shapiro-Wilk normality test
data: log(datos[datos$nse == "Medio_alto", c("wgt")]$wgt)
W = 0.97676, p-value = 0.6027
shapiro.test(log(datos[datos$nse=="Medio", c("wgt")]$wgt))
Shapiro-Wilk normality test
data: log(datos[datos$nse == "Medio", c("wgt")]$wgt)
W = 0.97509, p-value = 0.4812
shapiro.test(log(datos[datos$nse=="Medio_Bajo", c("wgt")]$wgt))
Shapiro-Wilk normality test
data: log(datos[datos$nse == "Medio_Bajo", c("wgt")]$wgt)
W = 0.97084, p-value = 0.08077
shapiro.test(log(datos[datos$nse=="Bajo", c("wgt")]$wgt))
Shapiro-Wilk normality test
data: log(datos[datos$nse == "Bajo", c("wgt")]$wgt)
W = 0.96765, p-value = 0.5191Luego procedemos a evaluar la homocedasticidad con la prueba de Levene
library(car) leveneTest(log(datos$wgt), datos$nse)
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
Df F value Pr(>F)
group 4 1.2955 0.2732
195
Como vemos que si se ajusta a normal en cada caso y se comprueba la homocedasticidad, procedemos a guardar la transformación del peso en la base
datos$wgt_log <- log(datos$wgt)
Ahora procedemos a aplicar el ANOVA
anova <- aov(wgt_log~nse, data=datos) summary(anova)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) nse 4 0.519 0.12964 3.431 0.00977 ** Residuals 195 7.368 0.03779 --- Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Observamos que como el p-valor es menor a 0.05, rechazamos las hipotesis nula de igualdad de promedios entre los grupos. Es decir, existen diferencias significativas del peso promedio entre los estratos
Vamos graficar…
library(ggplot2)
ggplot(data=datos, aes(x=nse, y=wgt_log, fill=nse)) +
geom_boxplot(outlier.colour = "red" ) +
ggtitle('Grafico de Boxplot - Peso x nse') +
stat_boxplot(geom = "errorbar", width = 0.25) + theme_bw() +
stat_summary(fun=mean,geom="point",shape=18,size=3,color="black")
Pruebas post hoc
Diferencia significativa honesta (HSD)
TukeyHSD(anova)
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = wgt_log ~ nse, data = datos)
$nse
diff lwr upr p adj
Medio_alto-Alto -0.11924072 -0.27541432 0.036932886 0.2232480
Medio-Alto -0.18860333 -0.34246110 -0.034745553 0.0078404
Medio_Bajo-Alto -0.10577873 -0.24955307 0.037995603 0.2575824
Bajo-Alto -0.16896556 -0.33353354 -0.004397586 0.0409875
Medio-Medio_alto -0.06936261 -0.18919414 0.050468919 0.5031535
Medio_Bajo-Medio_alto 0.01346199 -0.09311400 0.120037967 0.9968374
Bajo-Medio_alto -0.04972484 -0.18302900 0.083579317 0.8425901
Medio_Bajo-Medio 0.08282460 -0.02032801 0.185977201 0.1800263
Bajo-Medio 0.01963777 -0.11094562 0.150221147 0.9937951
Bajo-Medio_Bajo -0.06318683 -0.18172317 0.055349511 0.5846416Pruebas post hoc
Prueba Bonferroni
pairwise.t.test(datos$wgt_log, datos$nse, p.adj='bonferroni')
Pairwise comparisons using t tests with pooled SD
data: datos$wgt_log and datos$nse
Alto Medio_alto Medio Medio_Bajo
Medio_alto 0.3681 - - -
Medio 0.0089 1.0000 - -
Medio_Bajo 0.4415 1.0000 0.2821 -
Bajo 0.0519 1.0000 1.0000 1.0000
P value adjustment method: bonferroni ANOVA de 2 vías
Queremos saber si el sexo y el nivel socioeconómico afectan la variación del Peso. Es decir, si las diferencias observadas de promedio del peso entre los grupos se mantiene, si actuan el nse y sexo
anova <- aov(wgt_log~nse+sex, data=datos) summary(anova)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) nse 4 0.519 0.1296 3.719 0.00611 ** sex 1 0.605 0.6053 17.364 4.65e-05 *** Residuals 194 6.763 0.0349 --- Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
En este caso, ambos factores estan afectando estadisticamente la variabilidad del Peso. Por tanto, se mantienen las diferencias del peso por nse y ahora por sexo.
ANCOVA
Queremos probar la interacción de dos variables independientes categóricas
Queremos verificar, si interactuando el area con el nse, se mantienen las diferencias del peso.
anova <- aov(wgt_log~nse*area, data=datos) summary(anova)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) nse 4 0.519 0.12964 3.410 0.0101 * area 1 0.071 0.07069 1.859 0.1743 nse:area 3 0.036 0.01213 0.319 0.8115 Residuals 191 7.261 0.03802 --- Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
El resultado muestra que la variable area, no está asociada significativamente con la interacción de la variable nse. Es decir, el modelo de interacción nse:area no permite rechazar la Ho. Por lo tanto, ese modelo no permite explicar las diferencias del peso.
ANCOVA
Evaluar el efecto de la interacción de dos variables independientes: categórica y continua
En este caso, queremos ver el efecto del consumo de carbohidratos al día en gr (cho_g_dia) con el nse en las diferencias del peso.
anova <- aov(wgt_log~nse*cho_g_dia, data=datos) summary(anova)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) nse 4 0.519 0.12964 3.673 0.00661 ** cho_g_dia 1 0.000 0.00008 0.002 0.96285 nse:cho_g_dia 4 0.661 0.16532 4.684 0.00126 ** Residuals 190 6.707 0.03530 --- Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Observamos que la interacción nse:cho_g_dia (comsumo de carbohidratos al día en gr) es altamente significativa, es decir, las diferencias del peso promedio entre los niveles socioeconómicos pordría están siendo afectada por el consumo de carbohidratos. En otras palabras, el consumo de carbohidratos es diferente por niveles socioeconómicos y afecta el peso de los invididuos
PRUEBAS NO PARAMETRICAS
Prueba de suma de rangos Wilcoxon (U de Mann-Whitney)
Vamos a filtrar la base por nse=“Medio”, para tener una base más pequeña y luego vamos ver si existen diferencias del peso por sex
datos_medio <- datos[datos$nse=="Medio", c("sex", "wgt")]
wilcox.test(wgt~sex, data=datos_medio, exact=FALSE)
Wilcoxon rank sum test with continuity correction
data: wgt by sex
W = 292.5, p-value = 0.02957
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
El p-valor nos indica que rechazamos la Ho de igualdad entre promedios del peso por sexo.
PRUEBAS NO PARAMETRICAS
Prueba Kruskal-Wallis
Vamos a filtrar la base por sex=“Hombre” para tener una base más pequeña y luego vamos ver si existen diferencia del peso por nse
datos_mas <- datos[datos$sex=="Hombre", c("nse", "wgt")]
kruskal.test(wgt~nse, data = datos_mas)
Kruskal-Wallis rank sum test
data: wgt by nse
Kruskal-Wallis chi-squared = 7.1658, df = 4, p-value = 0.1274
El p-valor nos indica que no podemos rechazar la Ho, por tanto aceptamos la no diferencia del peso por nse.